24.3.1. ТИ в декартовых координатах

Предположим, что пространственная (трехмерная) область ограниченная замкнутой поверхностьюобладает следующими свойствами:

1°. Всякая прямая, параллельная оси OZ, проведенная через внутреннюю (т.е. не лежащую на границе) точку области пересекаетв двух точках.

2°. Областьпроектируется на плоскость XOY b правильную двумерную область D.

3°. Любая часть областиотсеченная плоскостью, параллельной координатной плоскости (XOY, XOZ, YOZ), обладает свойствами 1° и 2°.

О: Областьобладающая указанными свойствами 1°—3°,

называется правильной трехмерной областью.

Вычисление ТИ сводится к последовательному вычислению трех определенных интегралов. Рассмотрим правильную область, ограниченную снизусверху(рис. 24.2).

Пусть эта область проектируется на плоскость XOYb площадку D, х= а, х= b (a < b). Проведем через т. P(x,y,0)D прямую, параллельную OZ. Эта прямая пересечетв т. М (точка входа), ав т. N (точка выхода). Тогда, если(x,y,z) — непрерывная функция в областито можно доказать, что значение ТИ вычисляется по формуле [3б. С.201]

Рис. 24.2

Используя формулу (23.5), имеем

(24.6)

Если областьболее сложная, чем рассмотренная, то ее разбивают на конечное число областей указанного вида и к каждой из них применяют формулу (24.6).

Пример:

(см. рис. 23.11).

— пирамида,х=0, у = 0, x + y= 1,0z1-х - у, а = 0, b = 1,(х) = 0и(х)=1-х:

Формула, аналогичная (24.6), имеет место и длякратного интеграла для областей

• Опорный конспект № 24

Комментарии к новости

Написать ответ

Ваше имя

Ваш e-mail

Сообщение

Введите текст, который вы видите на картинке слева.

Регистр не важен. Нажмите, если не можете прочитать

Предварительный просмотр